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DES FONCTIONS CIRCULAIRES.

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-4)z$

$\left.-\ldots \mp {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+2}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .2z\right\}+$

${\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {3}{4}}\ldots {\tfrac {m-1}{m}}.{\tfrac {1}{n+1}}z^{n+1}\,;$

et, pour le cas de $m$ nombre positif et impair,

(f)$\int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .mz-{\tfrac {m}{1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .(m-2)z+\right.$

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .(m-4)z-\ldots \mp {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+5}{{\tfrac {1}{2}}m-3}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .3z\pm$

$\left.{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+3}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .z\right\}.$

Multipliant et divisant chacun des termes des seconds membres de ces deux équations affectés du signe d’intégration, par la $(n+1)^{me}$ puissance du coefficient de $z$ sous le signe de cosinus, équation (e), et sous celui de sinus, équation (f), en remarquant qu’en général $k\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .kz=\operatorname {d} \operatorname {Sin} .kz,$$k\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .kz=-\operatorname {d} \operatorname {Cos} .kz,$ on trouvera, pour le cas de $m$ nombre positif et pair,

(5)$\quad \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z=\pm {\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{{\tfrac {1}{m^{n+1}}}\int (mz)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(mz)\right.$

$-{\tfrac {m}{(m-2)^{n+1}}}\int \left[(m-2)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\left[(m-2)z\right]$

$+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {1}{(m-4)^{n+1}}}\int \left[(m-4)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\left[(m-4)z\right]\ldots$

$\left.\mp {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+2}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}.{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\int (2z)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(2z)\right\}$

$+{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {3}{4}}\ldots {\tfrac {m}{m-1}}.{\tfrac {n+1}{1}}z^{n+1}\,;$

les signes supérieurs devant être pris lorsque $m$ est un nombre doublement pair et les inférieurs dans le cas contraire.