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INTÉGRATION

$k\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .kz=\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .kz,$

il viendra, pour le cas de $m$ nombre positif et pair,

(3)$\quad \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{{\tfrac {1}{m^{n+1}}}\int (mz)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(mz)\right.$

$+{\tfrac {m}{(m-2)^{n+1}}}\int \left[(m-2)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\left[(m-2)z\right]$

$\left.+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+2}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\int (2z)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(2z)\right\}$

$+{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {3}{4}}\ldots {\tfrac {m-1}{m}}.{\tfrac {1}{n+1}}z^{n+1}.$

et pour le cas de $m$ nombre positif et impair,

(4)$\quad \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z={\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{{\tfrac {1}{m^{n+1}}}\int (mz)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(mz)\right.$

$+{\tfrac {m}{(m-2)^{n+1}}}\int \left[(m-2)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\left[(m-2)z\right]$

$+\ldots +{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+5}{{\tfrac {1}{2}}m+3}}{\tfrac {1}{3^{n+1}}}\int (3z)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .(3z)$

$\left.+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+3}{{\tfrac {1}{2}}m-2}}\int z^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .z\right\}.$

Or, les valeurs de tous les termes intégraux des seconds membres de ces équations (3) et (4) sont données, sous forme finie, par l’équation (1), en y faisant successivement $x=mz,(m-2)z,\ldots \,;$ donc on aura aussi, sous forme finie, les intégrales demandées.

Intégration de $z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .^{m}z.$

Des équations, connues en trigonométrie, qui donnent respectivement les valeurs des puissances paires et impaires du sinus d’un arc simple, en fonction des premières puissances des lignes trigonométriques, soit sinus soit cosinus, des multiples de l’arc simple, et que j’ai rappelées sous les lettres (a) et (b), à la page 407 du premier volume de mon Traité de calculs différentiel et intégral, on tire, pour le cas de $m$ nombre positif et pair,

(e)$\ \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z=\pm {\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .mz-{\tfrac {m}{1}}\int z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Cos} .(m-2)z+\right.$