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DES FONCTIONS CIRCULAIRES.

$z^{n}\mathrm {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z,\qquad z^{n}\mathrm {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z.$

Aucun auteur, du moins que je sache, n’ayant donné les intégrales, sous forme finie, de ces deux formules, j’ai pensé que l’on ne serait pas fâché de les rencontrer ici.

L’intégration de ces deux formules pouvant toujours, comme nous le verrons tout à l’heure, être ramenée à celle des formules

$(az)^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Sin} .(az),\qquad (az)^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Cos} .(az),$

lesquelles reviennent à

$x^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Sin} .x,\qquad x^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Cos} .x,$

c’est par celles-ci que nous commencerons. À la vérité, nous pourrions en déduire les intégrales de notre équation générale (432) [Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, tome II, page 236, art. 425], en y faisant $X=x^{n},a=0$ et $b=1$ ; mais nous croyons devoir, dans ce mémoire, les intégrer immédiatement.

Intégration de $x^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Sin} .x.$

On a

$\mathrm {d} \left(x^{n}\operatorname {Sin} .x\right)=x^{n}\mathrm {d} .\operatorname {Sin} .x-nx^{n-1}\mathrm {d} .\operatorname {Cos} .x,$

donc

temps et des efforts réunis de tous ceux qui voudront bien ne pas rejeter cette théorie avec dédain, sans l’avoir sérieusement examinée.

Ce qui me paraît résulter, bien clairement, du mémoire qu’on vient de lire ; ce qui peut en être regardé comme le résumé, est la proposition suivante : Lorsque cherchant, sur une droite indéfinie, une longueur déterminée, mais inconnue, qu’on croit être d’un certain côté d’un point fixe pris sur cette droite, il arrive que cette longueur est réellement du côté opposé de ce point fixe, en trouve pour la longueur cherchée, une expression négative ; et si cette longueur n’est pas même située sur la droite donnée, son expression se présente alors sous une forme imaginaire.

J. D. G.