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GÉOMÉTRIE

ce qui est relatif à la grandeur absolue d’une droite de ce qui est relatif à sa position. D’abord on a, par la première notation $a_{0}=a,1_{0}=1$ ; et ensuite on a, par la définition 2.^e, $1:1_{\alpha }::a:a_{\alpha },$ d’où l’on tire $a_{\alpha }=a.1_{\alpha }.$ Ainsi, nous pourrons représenter, de grandeur et de position, la droite $a_{\alpha }$ par $a.1_{\alpha },$ où $a$ est la grandeur absolue, et $1_{\alpha }$ le signe de position.

Définition 4. Nous appellerons Droites positives celles qui, étant parallèles à l’axe des abscisses, sont dirigées de gauche à droite, et Droites négatives celles qui, étant parallèles à l’axe des abscisses, sont dirigées de droite à gauche. Nous appellerons, de même, Angles positifs ceux qui sont comptés depuis l’axe des abscisses positives, en montant, et Angles négatifs ceux qui sont comptés depuis le même axe, en descendant. C’est là la définition ordinaire des quantités positives et des quantités négatives en géométrie ; mais, il s’en faut de beaucoup qu’on en ait tiré toutes les conséquences qu’elle est susceptible d’offrir. En combinant cette définition avec les précédentes, nous allons en déduire une manière simple, uniforme et féconde de représenter les lignes de grandeur et de position.

Corollaire. 1.^er. Il suit de cette définition et de nos notations qu’on $a+1=1_{0},$ et $-1=1_{\pm \varpi },$ et par conséquent $+a=a\times (+1)=a.1_{0},$ et $-a=a\times (-1)=a.1_{\pm \varpi }.$

Corollaire 2. On sait, d’un autre côté, que $+1=e^{0\varpi {\sqrt {-1}}},$ et $-1=e^{\pm \varpi {\sqrt {-1}}}\,;$ on a donc aussi $+a=a\times (+1)=a.e^{0\varpi {\sqrt {-1}}},$ et $-a=a\times (-1)=a.e^{\pm \varpi {\sqrt {-1}}}.$

Remarque. Il est vrai qu’on a plus généralement $+1=e^{\pm 2n\varpi {\sqrt {-1}}},$ et $-1=e^{\pm (2n+1)\varpi {\sqrt {-1}}},\ n$ étant un nombre entier quelconque ; mais, dans le géométrie de position, on n’a besoin que d’un seul tour de circonférence, pour déterminer la position d’une droite, ce qui suppose $n=0,$ et réduit ainsi les expressions de $+1$ et de $-1$ à celles du corollaire précédent.