Remarque. L’idée de proportionnalité, en géométrie, est fondée sur la similitude des figures ; notre définition 2.e repose donc sur un principe fondamental de la géométrie ordinaire, et nous ne faisons qu’exprimer, d’une manière explicite, la double circonstance de la proportionnalité des côtés homologues et de l’égalité des angles compris entre ces côtés.
Définition 3. Lorsque, dans une proportion de grandeur et de position, le conséquent du premier rapport devient en même temps l’antécédent du second, la proportion de grandeur et de position est dite continue ; et une suite de termes, dont trois consécutifs quelconques forment une proportion continue de grandeur et de position, est une progression de grandeur et de position. Ainsi, une suite de droites en progression géométrique ordinaire ne forme une progression de grandeur et de position que lorsque les angles que les droites consécutives font entre elles sont égaux.
Exemple 1.er. Pour avoir la proportion continue de grandeur et de position il faut qu’on ait, à la fois, et
Corollaire 1.er. Donc, pour qu’une droite soit moyenne proportionnelle de grandeur et de position entre et il faut qu’on ait en sorte que partage en deux parties égales l’angle formé par les droites
Exemple 2. Pour avoir la progression de grandeur et de position il faut qu’on ait, à la fois et
Corollaire 2. Donc, dans une progression de grandeur et de position, les grandeurs absolues des droits sont en progression géométrique, tandis que les angles qu’elles font avec l’axe des abscisses positives croissent en progression arithmétique.
Notation 2. Nous pouvons maintenant séparer, dans la notation,
