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RÈGLES

d’abord $a>b$ ou $a=b+\delta \,;$ on aura, après la substitution dans équations (1) et (2),

$x=c-\delta \,;\qquad x=c-\delta \,;$

résultats parfaitement identiques.

Soit, en second lieu, $b>a$ ou $b=a+\delta \,;$ les mêmes substitutions donneront

$x=c+\delta ,\qquad x=c-\left[a-\left(a+\delta \right)\right]=c-(-\delta ).$

La dernière expression se présente sous une forme inintelligible, puisqu’elle exige qu’on exécute une soustraction impossible, et que l’on retranche de $c$ le résultat de cette soustraction. La valeur $c+\delta$ peut servir à l’interpréter ; car on l’a obtenue en faisant passer les quantités $a$ et $b$ du premier membre dans le second ; ce que l’on est toujours libre de faire, quelles que soient les valeurs de ces quantités ; de sorte que l’on pourrait en conclure que

$c-(-\delta )=c+\delta .$

Quoiqu’il ne manque rien à cette conclusion, du côté de la rigueur, la marche que l’on a suivie n’éclaire pas assez sur la difficulté en question, et ne fait point assez bien voir comment on passe de l’expression $c-(-\delta )$ à l’expression $c+\delta .$ Afin de le mieux apercevoir, il faut remonter à l’équation primitive, et y substituer à la place de $b$ sa valeur $a+\delta .$ On trouve alors

$x-\delta =c.$

Ainsi, c’est à tort que l’on avait considéré la suppression du binôme $(a-b)$ comme une soustraction, puisqu’il est évident qu’il fallait, au contraire, ajouter à chaque membre la quantité $\delta$ pour avoir $x.$ Lorsqu’on opère sur des quantités numériques, il est clair qu’on