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DES COURBES.

d’où, par l’élimination de $R$ et $R',$ on conclura sur-le-champ

${\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}=1\,;$

en mettant successivement cette dernière équation sous les deux formes

${\frac {q.2pq-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}=1-p,\ {\tfrac {q.\left[q\left(1+p^{2}\right)+p.2pq\right]-p\left(1+p^{2}\right)r}{q^{2}}}=1+p,$

on verra aisément que deux de ses intégrales premières sont

${\frac {1+p^{2}}{q}}=x-y+A,\qquad {\frac {p\left(1+p^{2}\right)}{q}}=x+y+B\,;$

d’où, par l’élimination de $q,$ on conclura l’intégrale seconde

$p={\frac {x+y+B}{x-y+A}},\qquad$ ou simplement $\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {x+y}{x-y}}\,;$

attendu que, par un changement d’origine, on peut toujours faire disparaître les deux constantes $A$ et $B.$ L’intégrale de cette dernière équation est

$C+\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)=\operatorname {Log} .{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

ou, en passant aux coordonnées polaires, et faisant commencer les arcs avec les rayons vecteurs,

$t=\operatorname {Log} .\nu \,;$

équation de la spirale logarithmique, comme on pouvait bien s’y attendre.

Je terminerai par observer qu’avec des modifications convenables, il serait possible d’étendre aux surfaces courbes et aux courbes à double courbure la théorie qui vient d’être développée.