Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/58

54

ÉQUATIONS ABSOLUES

le signe supérieur répondant à l’ellipse et l’inférieur à l’hyperbole. Si l’on veut passer de là à la parabole, il suffira de supposer que $a$ est infini, ce qui donnera, pour l’équation de cette courbe,

$\left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\sqrt[{3}]{\left({\frac {2R}{p}}\right)^{2}}}\right\}=0.\qquad$(P)

Si, dans les équations (E) et (H), on fait $b=a,$ elles deviendront respectivement propres au cercle et à l’hyperbole équilatérale ; il viendra ainsi

$\left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\sqrt[{3}]{\left({\frac {R}{a}}\right)^{2}}}\right\}^{2}=0,$

$\left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\frac {R}{a}}{\sqrt[{3}]{\left({\frac {R}{a}}\right)}}\right\}=0\,;$

et l’on voit que la première revient à ces deux-ci

$R=a,\qquad R'=0,$

ainsi que cela doit être.

En mettant, dans toutes ces équations, pour $R'$ sa valeur ${\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} \theta }},$ et tirant ensuite de l’équation résultante la valeur de $\mathrm {d} R,$ en fonction de R et $\mathrm {d} \theta ,$ on aura des formules qui pourront servir commodément à tracer les lignes du second ordre, à la manière des anses de paniers ; le tracé approchera d’autant plus d’être exact qu’on fera croître l’angle $\theta$ par des degrés plus petits.

Pour second exemple, proposons-nous de déterminer l’équation, en coordonnées rectangulaires, de la courbe qui a constamment son rayon de courbure égal à celui de sa développée ; les équations du problème seront

$R'=R,$

$qR^{2}=\left(1+p^{2}\right)^{3},$

$q^{2}R'=\left[3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)\right]R\,;$