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DES COURBES.

${\begin{array}{rlr}a^{2}b^{6}R'^{2}&=9\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}\left(b^{2}-y^{2}\right)y^{2}R^{2},&{\text{(10)}}\\a^{2}b^{8}R^{2}&=\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)y^{2}+b^{4}\right\}^{3}\,;&{\text{(11)}}\\\end{array}}$

la dernière donne

$y^{2}=-{\tfrac {b^{2}}{c^{2}-b^{2}}}\left(b^{2}-{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}R^{2}}}\right),\ b^{2}-y^{2}=+{\tfrac {b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\left(a^{2}-{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}R^{2}}}\right),$

Substituant ces valeurs dans l’équation (10), on obtiendra enfin l’équation demandée, laquelle pourra être mise sous la forme suivante

$\left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\sqrt[{3}]{\left({\frac {aR}{b^{2}}}\right)^{2}}}\right\}\left\{1-{\sqrt[{3}]{\left({\frac {bR}{a^{2}}}\right)^{2}}}\right\}=0.\qquad$(E)

Cette équation met parfaitement en évidence la propriété dont jouissent les rayons de courbure de l’ellipse, d’être constamment compris entre les deux limites ${\frac {a^{2}}{b}}$ et ${\frac {b^{2}}{a}},$ et montre en outre que, lorsqu’ils atteignent l’une ou l’autre de ces limites, le rayon de courbure de la développée devient nul. Cette équation peut sembler un peu compliquée ; mais j’observerai que celle à laquelle parvient M. Ampère, ne l’est pas moins^[1]. Si l’on y change $b$ en $b{\sqrt {-1}},$ on la rendra propre à l’hyperbole dont le premier et le second axes sont respectivement $2a$ et $2b$ ; elle deviendra ainsi

$\left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\sqrt[{3}]{\left({\frac {aR}{b^{2}}}\right)^{2}}}\right\}\left\{1+{\sqrt[{3}]{\left({\frac {bR}{a^{2}}}\right)^{2}}}\right\}=0,\qquad$(H)

et l’on voit ici que le rayon de courbure, qui n’a point de limite en grandeur, ne saurait être moindre que ${\frac {b^{2}}{a}}$ et que, lorsqu’il atteint cette limite, le rayon de courbure de la développée devient nul.

Si, pour l’une et l’autre courbes, on désigne le paramètre par $p,$ leurs équations pourront être comprises dans la formule unique,

$\left({\frac {R'}{3R}}\right)^{2}+\left\{1-{\sqrt[{3}]{\left({\frac {2R}{p}}\right)^{2}}}\right\}\left\{1\mp {\frac {1}{a}}{\sqrt[{3}]{\left({\frac {pR}{2}}\right)^{2}}}\right\}=0\,;$

1. Voyez au bas de la page 170 du volume déjà cité.