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ÉQUATIONS ABSOLUES
![{\displaystyle \psi \left\{R,{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} \theta }}\right\}=\psi (R,R)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45f8e7790ca1fe32f848d88fa5e2a1e4355167d)
en y joignant les équations (V) et (VI), pour en éliminer
et
l’équation résultante, en
serait l’équation
différentielle du troisième ordre de la courbe en coordonnées rectangulaires ; équation qu’il faudrait ensuite intégrer, soit exactement
soit par approximation.
Pour premier exemple, proposons-nous de trouver l’équation de
l’ellipse en
et
et
étant les deux axes ; les équations
du problème seront
![{\displaystyle {\begin{array}{rlr}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}&=a^{2}b^{2},&{\text{(1)}}\\b^{2}x+a^{2}py&=0,&{\text{(2)}}\\b^{2}+a^{2}\left(p^{2}+qy\right)&=0,&{\text{(3)}}\\3pq+ry&=0,&{\text{(4)}}\\q^{2}R^{2}&=\left(1+p^{2}\right)^{3},&{\text{(5)}}\\q^{2}R'^{2}&=\left[3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)\right]R.&{\text{(6)}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa346f0fa0d40b0e2a4d20f27b3ccd7e0f358977)
L’élimination de
entre les équations (4) et (6) donnera d’abord
![{\displaystyle qyR'=3p\left[1+\left(p^{2}+qy\right)\right]R\,;\qquad \qquad {\text{(7)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be60c7f50b0a8337151687722a944be27728b552)
l’élimination de
entre les équations (3), (5) et (7) donnera ensuite
![{\displaystyle {\begin{array}{rlr}\left(a^{2}p^{2}+b^{2}\right)R'+3p\left(a^{2}-b^{2}\right)R&=0,&{\text{(8)}}\\\left(a^{2}p^{2}+b^{2}\right)^{2}R^{2}-a^{4}y^{2}\left(1+p^{2}\right)^{3}&=0\,;&{\text{(9)}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9de3416700bbdeee13f93ab16dcefeb054bf8cb)
éliminant encore
entre ces dernières et l’équation (2), on aura,
en ayant égard à l’équation (1), et en transposant et quarrant dans
l’équation (8)