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ÉQUATIONS ABSOLUES

$\psi \left\{R,{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} \theta }}\right\}=\psi (R,R)=0\,;$

en y joignant les équations (V) et (VI), pour en éliminer $R$ et $R',$ l’équation résultante, en $x,y,p,q,r,$ serait l’équation différentielle du troisième ordre de la courbe en coordonnées rectangulaires ; équation qu’il faudrait ensuite intégrer, soit exactement soit par approximation.

Pour premier exemple, proposons-nous de trouver l’équation de l’ellipse en $R$ et $R',2a$ et $2b$ étant les deux axes ; les équations du problème seront

${\begin{array}{rlr}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}&=a^{2}b^{2},&{\text{(1)}}\\b^{2}x+a^{2}py&=0,&{\text{(2)}}\\b^{2}+a^{2}\left(p^{2}+qy\right)&=0,&{\text{(3)}}\\3pq+ry&=0,&{\text{(4)}}\\q^{2}R^{2}&=\left(1+p^{2}\right)^{3},&{\text{(5)}}\\q^{2}R'^{2}&=\left[3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)\right]R.&{\text{(6)}}\\\end{array}}$

L’élimination de $r,$ entre les équations (4) et (6) donnera d’abord

$qyR'=3p\left[1+\left(p^{2}+qy\right)\right]R\,;\qquad \qquad {\text{(7)}}$

l’élimination de $q,$ entre les équations (3), (5) et (7) donnera ensuite

${\begin{array}{rlr}\left(a^{2}p^{2}+b^{2}\right)R'+3p\left(a^{2}-b^{2}\right)R&=0,&{\text{(8)}}\\\left(a^{2}p^{2}+b^{2}\right)^{2}R^{2}-a^{4}y^{2}\left(1+p^{2}\right)^{3}&=0\,;&{\text{(9)}}\\\end{array}}$

éliminant encore $p$ entre ces dernières et l’équation (2), on aura, en ayant égard à l’équation (1), et en transposant et quarrant dans l’équation (8)