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DES COURBES.
![{\displaystyle R'.{\frac {q}{1+p^{2}}}={\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}{\sqrt {1+p^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4432097b82a10fbdf7d585fd07662145d9949b3)
ou
![{\displaystyle R'={\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}.{\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\tfrac {1}{2}}}{q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f452370dacfa8dc1a555301ce36d9b6d42d8b0)
ou enfin
![{\displaystyle R'={\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}R.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba943f85cbfc1fbc2aaf08628e0c0d3dce1d73a)
(D)
Soit donc
![{\displaystyle \phi (x,y)=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7365561bd69328ae1b47be8e1cb807ae49cd82e5)
(I)
l’équation en coordonnées rectangulaires d’une courbe quelconque.
Par trois différentiations consécutives, on en tirera les trois nouvelles équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi '(x,y,p)&=0,\qquad (\mathrm {II} )\\\phi ''(x,y,p,q)&=0,\qquad (\mathrm {III} )\\\phi '''(x,y,p,q,r)&=0,\qquad (\mathrm {IV} )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae446fbe14868fd94469f75fc433a1fdf562daa2)
auxquelles on joindra encore les deux équations (C) et (D) qu’on pourra écrire ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}q^{2}R^{2}=\left(1+p^{2}\right)^{3},\qquad \qquad \qquad (\mathrm {V} )\\q^{2}R'=\left[3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)\right]R\,;\qquad (\mathrm {VI} )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2129be519b18cba2ee7a05f303ae358c5f8e3e7c)
et, en éliminant entre elles les cinq quantités
on obtiendra, pour résultat final, l’équation cherchée ; en
et
dans laquelle on pourra ensuite substituer
à
, si on le juge
convenable.
Si, au contraire, l’équation proposée était