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ÉQUATIONS ABSOLUES
est possible, servent à fixer la situation des axes. La première question ne présente pas les mêmes difficultés.
De quelque système de coordonnées que l’on parte, il est clair que, pour une même courbe, l’équation, soit en
et
soit en
et
doit demeurer constamment la même. Mais, si la nature des coordonnées primitives n’exerce aucune influence sur le résultat définitif, elle peut rendre le calcul plus ou moins pénible. Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que les coordonnées sont rectangulaires, d’autant que la question peut toujours être amenée à ce cas ;
sera la variable indépendante, et nous poserons, suivant l’usage
En conséquence, nous mettrons l’équation (A) sous la forme
![{\displaystyle R'{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44b77ad84147a930191fbc82219e0901f53bef0)
(B)
Cela posé, l’expression du rayon de courbure est
![{\displaystyle R={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\tfrac {1}{2}}}{q}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c43d04f8acdbfefb443a5102266376b20290e46)
(C)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}={\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}{\sqrt {1+p^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbba360936b408491cd4b17096a53c30f9f0930)
d’un autre côté, en appelant
comme nous en sommes convenus, l’angle que fait la normale ou le rayon de courbure avec l’axe des
on a
![{\displaystyle \theta =-\operatorname {Arc} .(\left(\operatorname {Tang} .={\frac {1}{p}}\right),\quad {\text{d’où}}\quad {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}={\frac {q}{1+p^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4d95202ec05d04eb3181067bc54802f19b44dc)
substituant donc dans l’équation (B), elle deviendra