même ; il y aura donc une situation de l’arbitraire qui fera coïncider le point avec le sixième sommet ; et, comme les trois points ne cessent jamais d’être en ligne droite, la proposition se trouve ainsi établie.
THÉORÈME II. Dans tout hexagone circonscrit à une section conique, les diagonales qui joignent les sommets opposés se coupent toutes trois au même point.
Démonstration. Concevons que l’on ait joint les points de contact consécutifs par des cordes ; ces cordes formeront un hexagone inscrit dont les côtés auront respectivement pour pôles les sommets du premier.
Par le précèdent théorème, les points de concours des directions des côtés opposés de l’hexagone inscrit seront tous trois situés sur une même ligne droite.
Donc, en vertu du théorème démontré par M. B.***, les diagonales joignant les sommets opposés de l’hexagone circonscrit se coupent toutes trois au même point.
Remarque. À la page 78 de ce volume, j’ai démontré ces deux théorèmes indépendamment l’un de l’autre, par des considérations géométriques et sans aucune sorte de calcul.
Les démonstrations de ce genre ne laissent sans doute rien à désirer du côté de l’élégance et de la brièveté ; mais malheureusement il est rare qu’elles ne soient pas sujettes à quelques exceptions ou limitations.
On connaît, par exemple, la manière dont M. Monge démontre le concours en un même point des cordes communes à trois cercles pris deux à deux ; mais on a pu remarquer que sa démonstration est en défaut, lorsque les trois cercles, laissant un vide entre eux, n’ont point une portion qui leur soit commune à tous. La démonstration que ce géomètre a donnée de la propriété des pôles, se trouve pareillement en défaut, lorsque le pôle d’une section conique est extérieur à la courbe. On en peut encore dire autant de sa démonstration de la propriété des tangentes extérieures à trois cercles pris deux à deux, lorsque l’un de ces cercles se trouve compris entre les tangentes communes aux deux autres.
