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QUESTIONS

$(a-g)y=e(x-g),\qquad (b-h)x=d(y-h)\,;$

d’après quoi, et en posant pour abréger

$dh+g(b-h)=p,\qquad eg+h(a-g)=q,\qquad de-(a-g)(b-h)=r,$

on trouvera, pour les équations du point $\mathrm {G} ,$

$x=d{\frac {q}{r}},\qquad e{\frac {p}{r}}\,;$

l’équation de l’arbitraire $\mathrm {HK}$ sera donc de la forme

$y-e{\frac {p}{r}}=\lambda (x-d{\frac {q}{r}})\,;$

d’après quoi on trouvera

$\mathrm {CH} ={\frac {\lambda dq-ep}{\lambda r}},\qquad \mathrm {CK} ={\frac {\lambda ep-dq}{\lambda r}}\,;$

les équations de $\mathrm {EH}$ et $\mathrm {AK}$ seront donc respectivement

$\lambda \left\{dy-bx)-dq(y-b)\right\}+ep(y-b)=0,$

$\left\{ex-ay)-ep(x-a)\right\}+\lambda dq(x-a)=0\,;$

éliminant donc entre elles l’arbitraire $\lambda$, réduisant et divisant par $r,$ on trouvera, pour la courbe décrite par le point $\mathrm {Z} ,$ l’équation du second degré

$r(dy-bx)(ex-ay)-dq(ex-ay)(y-b)-ep(dy-bx)(x-a)=0\,;$

laquelle montre déjà évidemment que la courbe passe par les trois points $\mathrm {A,C,E.}$ En la développant, remettant pour $p,q,r$ leurs valeurs et réduisant, on parvient très-aisément à lui donner cette nouvelle forme

$\left.{\begin{aligned}be\left[a(b-h)-d(e-h)\right](x-g)x&\\+\left[de(d-g)(e-h)-ab(a-g)(b-h)\right]xy&\\+ad\left[b(a-g)-e(d-g)\right](y-h)y&\\\end{aligned}}\right\}=0\,;$

et l’on voit alors que la courbe passe, en outre, par les points $\mathrm {B,D}$ ; puis donc que deux sections coniques distinctes ne sauraient passer par les cinq mêmes points, il en faut conclure que la courbe décrite par le point variable $\mathrm {Z}$ est la section conique donnée elle-