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RÉSOLUES.

Et réciproquement, s’il était seulement démontré que, dans tout hexagone circonscrit à une section conique, les diagonales qui joignent les sommets opposés se coupent toutes trois au même point, il se trouverait établi, par ce qui précède, que, dans tout hexagone inscrit à une section conique, les points de concours des prolongemens des côtés opposés sont tous trois sur une même ligne droite.

Démonstration de la propriété des hexagones inscrits
et circonscrits à une section conique ;

Par M. Gergonne.

THÉORÈME I. Dans tout hexagone inscrit à une section conique, les points de concours des directions des côtés opposés sont tous trois sur une même ligne droite.

Démonstration. Soient $\mathrm {A,B,C,D,E,F}$ les sommets consécutifs de l’hexagone dont il s’agit, $\mathrm {G}$ le point de concours de $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {DE,\ H}$ et $\mathrm {K}$ les points de concours de $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {CD} ,$ respectivement, avec une droite menée arbitrairement par $\mathrm {G}$ ; soit enfin $\mathrm {Z}$ le point de concours de $\mathrm {EH}$ et $\mathrm {AK} .$ Supposons que l’arbitraire $\mathrm {HK}$ tourne autour du point $\mathrm {G} ,$ et cherchons quelle est la courbe que décrira le point variable $\mathrm {Z}$ ?^[1]

Soient $\mathrm {C}$ l’origine, $\mathrm {CB}$ l’axe des $x$ , $\mathrm {CD}$ l’axe des $y$ ; et soient les équations des points donnés ainsi qu’il suit

\mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}x=&a,\\y=&e,\\\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {B} \left\{{\begin{aligned}x=&g,\\y=&0,\\\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {C} \left\{{\begin{aligned}x=&0,\\y=&0,\\\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {D} \left\{{\begin{aligned}x=&0,\\y=&h,\\\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {E} \left\{{\begin{aligned}x=&d,\\y=&b,\\\end{aligned}}\right.

Les équations de $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {DE}$ seront respectivement

↑ C’est à dessein que je sous-entends la figure. Un des principaux titres de supériorité de l’analise sur la géométrie est que, cette dernière raisonnant sur des figures construites d’une manière déterminée, on est souvent en droit de craindre que les résultats auxquels elle conduit ne dépendent de la nature individuelle de ces figures. Les solutions purement analitiques ne présentent point un pareil inconvénient.

[1] C’est à dessein que je sous-entends la figure. Un des principaux titres de supériorité de l’analise sur la géométrie est que, cette dernière raisonnant sur des figures construites d’une manière déterminée, on est souvent en droit de craindre que les résultats auxquels elle conduit ne dépendent de la nature individuelle de ces figures. Les solutions purement analitiques ne présentent point un pareil inconvénient.

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