4.o On voit aussi que, connaissant seulement deux rayons conjugués, et l’angle que forment entre eux les plans des sections normales auxquelles ils répondent, on a tout ce qu’il faut pour assigner les directions des sections principales et la grandeur des rayons principaux, et pour en conclure par suite la grandeur du rayon de courbure d’une section normale donnée de direction, ou la direction de la section normale à laquelle répond un rayon de courbure donné.
5.o En général, chaque théorème relatif aux diamètres conjugués d’une ligne du second ordre doit avoir son analogue dans la théorie de la courbure des surfaces ; et l’examen des diverses circonstances que peut présenter cette courbure en différens points d’une même surface, ou sur diverses surfaces, se réduit uniquement à la discussion des variétés que peuvent présenter les lignes du second ordre pourvues de centre. Ainsi, par exemple, on voit que, si en un point d’une surface courbe, deux courbures rectangulaires sont égales et de même signe, toutes les autres courbures en ce point seront égales entre elles et à celles-là. Si toutes les courbures eu un même point d’une surface ne sont pas de mêmes signes, cette surface aura, en ce point, des courbures infinies suivant deux directions telles que les sections normales qui diviseront en deux parties égales les quatre angles formés par ces deux directions, seront les sections principales.
Nous renvoyons, pour le surplus, à l’ouvrage même de M. Dupin, qui renferme un grand nombre d’autres recherches importantes, et qu’on ne peut lire qu’avec beaucoup de fruit.
