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DES SURFACES.

Soit fait présentement, comme dans le §. précédent, $h=g\operatorname {Tang} ,\alpha ,$ l’équation de la projection de $\mathrm {MM'}$ sur le plan des $\mathrm {XY}$ sera comme alors

$Y-y=(X-x)\operatorname {Tang} .\alpha \,;\qquad$(11)

et le rayon du cercle aura pour expression

${\frac {\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)\left\{(p+q\operatorname {Tang} .\alpha )+{\tfrac {1}{2}}\left(r+2s\operatorname {Tang} .\alpha +t\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)g+\ldots \right\}^{2}}{\left(r+2s\operatorname {Tang} .\alpha +t\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)+\ldots }}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}.$ (30)

Si finalement on suppose $g=0,$ cette expression deviendra celle du rayon de courbure de la section normale, de manière qu’en désignant par $R$ ce raon de courbure, on aura

$R={\frac {(1+p^{2})+2pq\operatorname {Tang} .\alpha +(1+q^{2})\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }{r+2s\operatorname {Tang} .\alpha +t\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}.\$(31)

Supposons encore, comme dans le §. précédent, qu’on ait transporté l’origine en $\mathrm {M} ,$ qu’on ait pris les tangentes principales pour axes des $\mathrm {X}$ et des $\mathrm {Y}$ et la normale pour axe des $\mathrm {Z}$ ; on aura, comme alors

$x=0,\qquad y=0,\qquad z=0,\qquad p=0,\qquad q=0,\qquad s=0,$

et conséquemment

$R={\frac {1+\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }{r+t\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}.\qquad$(32)

Désignons respectivement par $A$ et $B$ les valeurs de $R$ qui répondent à $\operatorname {Tang} .\alpha =0$ et $\operatorname {Tang} .\alpha =\infty ,$ c’est-à-dire, les rayons de courbure des sections suivant les plans des $XZ$ et des $YZ$ ; rayon que, pour les distinguer des autres, nous appellerons Rayons de courhure principaux, ou simplement Rayons principaux ; tout comme nous appellerons Sections principales les sections faites suivant les mêmes plans ; nous aurons ainsi

$A={\frac {1}{r}},\qquad B={\frac {1}{t}},\qquad$(33)