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COURBURE

points et par la normale au premier ; concevons un autre plan perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint ces deux points ; ce dernier plan coupera la normale en un point qui deviendra le centre de courbure de la section normale pour le point $\mathrm {M}$ de cette section, lorsque le point $\mathrm {M'}$ viendra coïncider avec lui.

Traduisons ce procédé en analise ; les équations de la normale en $\mathrm {M}$ sont

$X-x=-p(Z-z),\qquad Y-y=-q(Z-z)\,;\qquad$(19)

celle du plan passant par cette droite et par le point $\mathrm {M'}$ sera

$(h+qk)(X-x)-(g+pk)(Y-y)+(ph-qg)(Z-z)=0,\qquad$(20)

enfin on trouvera, pour celle du plan perpendiculaire sur le milieu de $\mathrm {MM',}$

$2g(X-x)+2h(Y-y)+2k(Z-z)=g^{2}+h^{2}+k^{2}.\qquad$(21)

Si l’on combine cette dernière équation avec celles de la normale, on trouvera pour les équations du centre du cercle tangent à la section normale en $\mathrm {M}$ et passant par $\mathrm {M',}$ en ayant égard à l’équation (2),

$\left.{\begin{aligned}X-x=&-p.{\frac {g^{2}+h^{2}+k^{2}}{(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots }},\\Y-y=&-q.{\frac {g^{2}+h^{2}+k^{2}}{(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots }},\\Z-z=&.{\frac {g^{2}+h^{2}+k^{2}}{(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots }},\\\end{aligned}}\right\}\quad (22)$

le rayon de ce cercle sera donc

${\sqrt {(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}}}$

$={\frac {g^{2}+h^{2}+k^{2}}{(rg^{2}+2sgh+th^{2})+\ldots }}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}.\qquad$(23)