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COURBURE

origine des coordonnées, et le plan tangent en ce point pour plan des $XY,$ auquel cas l’axe des $Z$ sera dirigé suivant la normale ; nous aurons

$x=0,\qquad y=0,\qquad z=0,\qquad p=0,\qquad q=0,$

et conséquemment les équations (11) et (13), lesquelles deviendront alors celles des tangentes conjuguées elles-mêmes, se réduiront à

$Y=X\operatorname {Tang} .\alpha ,\qquad Y=X\operatorname {Tang} .\beta \,\qquad$(15)

$\alpha$ et $\beta$ étant toujours liés par la relation (14).

Si l’on veut que les tangentes conjuguées soient rectangulaires, on aura, en outre,

$1+\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta =0,\qquad$(16)

équation qui, étant combinée avec l’équation (14), donne

$\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta =-{\frac {r-t}{s}},\qquad \operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta =-1\,;$

de manière que les valeurs particulières de $\operatorname {Tang} .\alpha$ et $\operatorname {Tang} .\beta$ qui répondent à ce cas seront données par l’équation

$s\operatorname {Tang} .^{2}\alpha -(r-t)\operatorname {Tang} .\alpha -s=0.\qquad$(17)

nous appellerons à l’avenir Tangentes conjuguées principales, ou simplement Tangentes principales, celles qui sont déterminées par cette équation.

La direction des axes des $x$ et des $y$ ne se trouvant pas fixée par ce qui précède, profitons de leur indétermination pour les faire coïncider avec les tangentes principales ; il faudra, pour cela que, des deux racines de l’équation (17), l’une soit nulle et l’autre infinie. Ces deux conditions concourent à donner $s=0,$ en sorte que l’équation de relation (14) entre les directions des deux tangentes conjuguées quelconques se réduit simplement à