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DES SURFACES.
d’où
![{\displaystyle k=(p+q\operatorname {Tang} .\alpha )g+{\tfrac {1}{2}}\left(r+2s\operatorname {Tang} .\alpha +t\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)g^{2}+\ldots \,;\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2563d10aa58440c79e7f44fcbaf8a0ff91f40e18)
(9)
les équations (6) et (7) deviendront respectivement, en réduisant
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&2(r+s\operatorname {Tang} .\alpha +\ldots )(X-x)\\+&2(s+t\operatorname {Tang} .\alpha +\ldots )(Y-y)\\\end{aligned}}\right\}=\left(r+2s\operatorname {Tang} .\alpha +t\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \right)g+\ldots \quad {\text{(10)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e935b6036ac4136cd4818c04b54ff831e45beb22)
![{\displaystyle Y-y=(X-x)\operatorname {Tang} .\alpha \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb4fa560a517fb9bf2b077352b3b9f6a2a7742f)
(11)
Si enfin on suppose
auquel cas ces équations deviendront celles des projections sur le plan des
de deux tangentes conjuguées menées à la surface (1) par le point
; on aura, pour les équations des projections de ces deux tangentes,
![{\displaystyle (r+s\operatorname {Tang} .\alpha )(X-x)+(s+t\operatorname {Tang} .\alpha )(Y-y)=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261bbbf34bbc8c5705d54a82a0fdef652a76e4b6)
(12)
![{\displaystyle Y-y=(X-x)\operatorname {Tang} .\alpha \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb4fa560a517fb9bf2b077352b3b9f6a2a7742f)
(11)
Si, en place de la première de ces deux équations, on écrit simplement
![{\displaystyle Y-y=(X-x)\operatorname {Tang} .\beta \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567d013d80d916239c4aaed0de4d2db2f16ee274)
(13)
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\beta =-{\frac {r+s\operatorname {Tang} .\alpha }{s+t\operatorname {Tang} .\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8cf9eca44afc78d5af09bc426be1268ee4dc79)
ou
![{\displaystyle r+s(\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta )+t\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta =0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087beeaabf5dac4020f46ec6027f416f338c5fa4)
(14)
d’où l’on voit que ces deux tangentes sont parfaitement réciproques, et que la première peut être déduite de la seconde comme celle-ci peut l’être de l’autre.
Si présentement nous supposons que le point
ait été pris pour