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DES SURFACES.

Dans tout ce qui va suivre, nous ferons, pour abréger, et suivant l’usage

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=p\qquad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=q$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=r,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} x}}=s,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y^{2}}}={\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y}}=t\,;$

$X,Y,Z$ seront les coordonnées courantes dans l’espace, et nous les supposerons constamment rectangulaires.

§. I.

Théorie des Tangentes conjuguées.

Concevons que, par deux points pris arbitrairement sur une surface courbe, on mène une sécante à cette surface ; et imaginons, en outre, les plans tangens en ces deux points, lesquels se couperont suivant une droite extérieure à la surface dont il s’agit.

Concevons qu’ensuite l’un des points pris sur la surface courbe se rapproche peu à peu de l’autre, en suivant une courbe tracée arbitrairement sur cette surface, et passant par ces deux points ; il est facile d’apercevoir qu’alors la sécante et la commune section des deux plans tangens tendront sans cesse à devenir deux tangentes se coupant en celui des deux points qui sera demeuré immobile, et qu’elles le deviendront en effet, lorsqu’enfin l’autre point coïncidera avec celui-là ; ce sont ces deux tangentes que M. Dupin a nommées \operatorname{Tang}entes conjuguées. Nous allons chercher la loi analitique qui les lie l’une à l’autre, et justifier ainsi leur dénomination.

Soient $\mathrm {M,M'}$ deux points d’une surface courbe dont l’équation soit

$\mathrm {F} (x,y,z)=0,\qquad$(1)

et soient les coordonnées de ces points ainsi qu’il suit :