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DE LA CIRCONFÉRENCE.

Si donc on suppose $m=\infty ,$ on aura exactement, quel que soit $n$

$\varpi ={\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{8n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{16n}}\ldots 1}},\qquad$(5)

le nombre des facteurs du dénominateur devant être infini, et conséquemment le dernier étant l’unité.

On sait que, $x$ étant un arc quelconque, on a

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}},\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}}}},\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}}}}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

d’où il résulte, pour l’équation (5), cette autre forme

$\varpi ={\tfrac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}}}}}\ldots 1}}\,;\qquad$(6)

Ainsi, toutes les fois que $n$ sera l’un des nombres dans lesquels la circonférence peut être géométriquement divisée, c’est-à-dire, quelqu’un des nombres de la suite 2, 3, 5, 17, 257,…, l’expression de $\varpi$ sera entièrement algébrique.

Si, par exemple, on suppose $n=2,$ d’où $\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}=\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2}}=1,$ et $\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}=\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2}}=0,$ il viendra