Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/371

355

SUR LA SPHÈRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et soit $R$ son angle générateur. Si l’on veut que ce cône touche extérieurement les trois cônes donnés, il faudra que l’angle que fera son axe avec l’axe de chacun d’eux soit égal à la somme de leurs angles générateurs ; ce qui donnera

${\begin{array}{rlr}aA+bB+cC=&\operatorname {Cos} .(R+r),&\qquad (4)\\a'A+b'B+c'C=&\operatorname {Cos} .(R+r'),&\qquad (5)\\C=&\operatorname {Cos} .(R+r'').&\qquad (6)\\\end{array}}$

Telles sont les équations qu’il faudrait combiner avec l’équation (3), pour obtenir l’angle générateur $R$ du cône cherché, et les cosinus $A,B,C$ des angles que forme son axe avec les axes des coordonnées ; et l’on voit évidemment que le problème aurait deux solutions.

Il y a donc deux cônes cherchés dont chacun a une ligne de contact avec l’un quelconque des cônes donnés, avec $\mathrm {\mathrm {C} ''}$ par exemple ; et il est clair, d’après cela, que la recherche du plan qui contient ces deux droites doit être un problème du premier degré seulement.

Soient donc $x,y,z$ les coordonnées de la ligne de contact de $\mathrm {C'}$ avec le cône cherché ; nous connaissons déjà un lieu de cette ligne, et c’est le cône $\mathrm {C''}$ lui-même, dont l’équation est

$(x^{2}+y^{2})\operatorname {Cos} .^{2}r''=z^{2}\operatorname {Sin} .^{2}r''\,;\qquad$(7)

il n’est donc plus question que d’en chercher un second.

Or, cette ligne devant être dans un même plan avec les axes des deux cônes, il s’ensuit qu’on doit avoir

$Ay=Bx\,;\qquad \qquad$(8)

et conséquemment, en éliminant $A,B,C,R$ entre les cinq équa-