Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/370

354

CONTACT DES CERCLES

uniformes la solution de tous les problèmes de Viète sur le contact des cercles et de ceux de Fermat sur le contact des sphères.

Je ne prétends pas décider si ces procédés ont en eux-mêmes quelque avantage sur les premiers que j’inclinerais même à regarder comme plus simples ; mais c’est sous cette forme seulement que la construction qui fait trouver les cercles qui touchent à la fois trois cercles donnés sur un plan, donne aussi, sans aucune modification, les cercles qui touchent à la fois trois cercles donnés sur une sphère.

C’est à prouver cette assertion que je consacre principalement cet article. Le problème revient évidemment à celui-ci : Trois cônes de même sommet étant donnés ; construire un quatrième cône, de même sommet qu’eux, qui les touche tous trois ? et c’est sous ce point de vue que je vais l’envisager.

Soient $\mathrm {C,C',C''}$ trois cônes donnés, de même sommet, dont les angles générateurs soient respectivement $r,r',r''.$ Soit pris leur sommet commun pour origine des coordonnées que nous supposons rectangulaires ; et supposons que l’axe du dernier soit l’axe des $z.$ Représentons en outre par $a,b,c,a',b',c'$ respectivement les cosinus des angles que forment les axes du premier et du second avec les axes des coordonnées ; ce qui, comme l’on sait, donnera lieu aux relations,

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,\qquad$(1)

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=1,\qquad$(2)

Désignons ensuite par $\mathrm {A,B,C}$ les cosinus des angles que forme l’axe du cône cherché avec les axes des coordonnées, ce qui donnera pareillement

$A^{2}+B^{2}+C^{2}=1,\qquad$(3)