Si, enfin, quatre sphères coexistent dans l’espace, elles donneront, étant prises trois à trois, quatre axes radicaux, lesquels concourront en un même point qui sera le Centre radical de ces quatre sphères. Ce centre pourra donc être déterminé par ce qui précède.
Cela posé, soient 1.o trois cercles donnés sur un plan ; et soit leur centre radical. Soient menées à ces cercles, pris deux à deux, des tangentes communes extérieures ; ces tangentes détermineront sur chaque cercle deux cordes de contact se coupant en un point ; soient, pour les trois cercles respectivement, ces points d’intersection. Si alors on mène les droites elles détermineront sur respectivement les points où ils devront être touchés par deux cercles les touchant tous trois et les touchant tous de la même manière.
2.o Soient quatre sphères données dans l’espace ; et soit leur centre radical. Soient menés à ces sphères, prises deux à deux, des cônes circonscrits extérieurs ; ces cônes détermineront sur chaque sphère trois lignes de contact dont les plans se couperont en un point ; soient, pour les quatre sphères respectivement ces points d’intersection. Si alors on mène les droites elles détermineront sur respectivement les points où elles devront être touchées par deux sphères qui les toucheront toutes quatre, et les toucheront toutes de la même manière.
En faisant encore ici une convenable combinaison des angles et cônes circonscrits intérieurement avec les angles et cônes circonscrits extérieurement, on déduit de ces constructions, comme de celles qui ont été précédemment indiquées, la détermination des huit cercles qui peuvent toucher à la fois trois cercles donnés et celle des seize sphères qui peuvent toucher à la fois quatre sphères données. De plus, en faisant à ces constructions les modifications qui conviennent an cas où les rayons de quelques-uns des cercles ou de quelques-unes des sphères donnés deviennent nuls ou infinis, on ramène encore, comme dans le premier cas, à des procédés
