Rien n’est plus aisé, comme on le voit, que de déterminer l’axe radical ou corde commune de deux cercles qui se coupent. Lorsqu’au contraire les deux cercles ne se coupent pas, la chose n’est guère plus difficile. Si en effet on décrit arbitrairement un troisième cercle qui coupe à la fois ces deux-là, il aura avec eux deux cordes communes, et il résulte de ce que nous venons de dire sur le centre radical, que le point de concours de ces deux cordes est un point de l’axe radical des deux cercles donnés ; et, comme on sait d’ailleurs que cet axe doit être perpendiculaire à la droite qui joint les centres, il se trouvera entièrement déterminé. Au surplus, on trouvera peut-être plus commode, dans la pratique, de chercher un second point de cet axe, par un procédé pareil à celui qui aura fait trouver le premier.
Sachant ainsi trouver l’axe radical de deux cercles, lors même qu’ils ne se coupent pas, la recherche du centre radical de trois cercles, dans le cas même où ils ne se couperont pas, ne présentera plus aucune difficulté.
Tout ceci peut facilement être étendu à des sphères dans l’espace. Ainsi le plan du cercle commun à deux sphères, lequel plan existe encore lorsque ces sphères ne se coupent pas, est leur Plan radical.
On détermine une droite appartenant à ce plan, en construisant une sphère qui coupe à la fois les deux sphères données et prolongeant les plans des intersections jusqu’à ce qu’ils se coupent. Pour déterminer entièrement ce plan, on peut indifféremment, ou déterminer une nouvelle droite qui y soit située, ou conduire par l’un quelconque des points de la première un plan perpendiculaire à la droite qui joint les centres.
Si trois sphères coexistent dans l’espace, elles donneront, en les considérant deux, à deux, trois plans radicaux lesquels se couperont suivant une même droite qu’on appellera leur Axe radical, et dont la construction n’offrira point de difficulté ; d’après ce qui vient d’être dit.
