quelconque dans l’espace, soient circonscrits extérieurement des cônes
aux sphères et et et
ces cônes détermineront
sur la sphère trois lignes de contact dont les plans se couperont
on un certain point ces mêmes cônes détermineront aussi sur
trois autres lignes de contact dont les plans, prolongés
s’il est nécessaire, se couperont en un autre point or, si l’on
joint ces points et par une droite, les intersections de
cette droite avec la sphère seront les points où cette sphère sera
touchée par deux sphères touchant à la fois les quatre sphères et les touchant toutes quatre de la même manière ;
c’est-à-dire, les enveloppant toutes quatre ou les touchant toutes
quatre extérieurement.
Il est clair que ces propositions donnent la solution directe des problèmes où il s’agit de décrire un cercle qui touche trois cercles donnés, ou de décrire une sphère qui touche quatre sphères données, du moins lorsqu’on exige que les trois cercles ou les quatre sphères donnés soient touchés de la même manière par le cercle ou par la sphère cherchés ; mais j’ai fait voir, dans le mémoire côté, qu’en faisant une combinaison convenable des angles et cônes, circonscrits intérieurement avec les angles et cônes circonscrits extérieurement, on pouvait obtenir, par un semblable procédé, les huit cercles qui peuvent toucher à la fois trois cercles donnés et les seize sphères qui peuvent toucher à la fois quatre sphères données. J’ai cherché en outre ce que devenaient les cordes de contact et les plans de lignes de contact, lorsque les rayons de quelques-uns des cercles ou de quelques-unes des sphères donnés devenaient nuls ou infinis, et j’ai ainsi établi le moyen de ramener à des procédés uniformes, et faciles à retenir, tous les problèmes de Viète sur le contact des cercles, et ceux de Fermat sur le contact des sphères.
L’élégante simplicité de ces solutions, indiquées tout naturellement par l’analise, m’avait fait désirer que celles qui sont relatives à trois cercles donnés sur un plan s’appliquassent également à trois
