les mêmes arêtes latérales et la même section perpendiculaire ces
arêtes ayant la même surface latérale, il suffit, pour remplir la condition prescrite, que la somme des aires des bases ou, ce
qui revient au même, la somme de leurs moitiés soit la moindre
possible ; ce qui ramène la question au précédent corollaire, et prouve
la vérité de la proposition.
Corollaire. Donc aussi de tous les troncs de parallélépipèdes qui ont les mêmes arêtes latérales et la même section perpendiculaire à ces arêtes, celui dans lequel la somme des aires des bases est la plus petite, est le tronc de parallélipipède dans lequel le plan qui contient les milieux des arêtes latérales, est perpendiculaire à leur direction commune.
THÉORÈME. De tous les troncs de parallélipipèdes qui ont les deux mêmes faces latérales opposées et la même section perpendiculaire aux arêtes latérales, celui de moindre surface est le tronc de parallélipipède dans lequel les plans des deux bases ont des inclinaisons égales sur les faces latérales données.
Démonstration. En effet, dans tous les troncs de parallélipipèdes de cette nature, la surface latérale étant constante ; pour que la surface totale soit un minimum, il est nécessaire et il suffit que la somme des aires des bases ou, ce qui revient au même, la somme des moitiés de ces aires soit la moindre possible, ce qui ramène la question au cas du lemme ci-dessus, et démontre conséquemment la vérité de la proposition.
Corollaire. Il est facile de conclure de là que, si les deux faces latérales opposées que l’on suppose être données sont des trapèzes isocèles, les deux autres faces latérales opposées devront être aussi des trapèzes isocèles.[1]
- ↑ La théorie développée dans le précédent article étant très-claire, il serait
à désirer, afin de rendre cette théorie tout à fait élémentaire, qu’on pût trouver,
pour les trois derniers problèmes, ou tout au moins pour le second, quelque
solution aussi simple que celle que M. Castelnau a donnée du premier.
J. D. G.
