ou
ou encore d’où comme nous l’avions annoncée.
THÉORÈME. De tous les troncs de prismes triangulaires qui ont les trois mêmes arêtes latérales et la même section perpendiculaire à ces arêtes, celui de moindre surface est le tronc de prisme triangulaire dans lequel les milieux des arêtes latérales sont dans un plan perpendiculaire à leur direction commune.
Démonstration. Ceci revient évidemment à dire qu’il faut que l’inclinaison du plan de l’une des bases sur celui de chacune des faces latérales soit égale à l’inclinaison du plan de l’autre base sur celui de la même face.
Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi et qu’il y ait au moins une des faces latérales sur laquelle les deux bases soient inégalement inclinées ; en faisant mouvoir l’arête latérale opposée suivant sa propre direction, on pourrait toujours amener les inclinaisons à être égales ; et comme, par cette transformation la surface du tronc se trouverait diminuée (Lemme), on devrait en conclure qu’elle n’était pas d’abord un minimum.
Corollaire. Et, comme tous les troncs de prismes triangulaires qui ont les mêmes arêtes latérales et la même section perpendiculaire à ces arêtes ont aussi la même surface latérale, il en faut conclure que celui dans lequel le plan qui contient les milieux des arêtes latérales est perpendiculaire à leur direction commune, est aussi celui dont la somme des aires des deux bases est la moindre possible.
THÉORÈME. De tous les troncs de parallélipipèdes qui ont les mêmes arêtes latérales et la même section perpendiculaire à ces arêtes, celui de moindre surface est le tronc de parallélipipède dans lequel le plan qui contient les milieux des arêtes latérales, est perpendiculaire à leur direction commune.
Démonstration. En effet, tous les parallélépipèdes formés avec
