et soient menées
lesquelles seront aussi respectivement perpendiculaires sur
Faisons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AG} =a,\ Ang.\mathrm {GAC} =\alpha ,\ \mathrm {PS} =x,&\\&\mathrm {KL=MP=NQ} =k.\\\mathrm {BH} =b,\ Ang.\mathrm {HBC} =\beta ,\ \mathrm {QT} =y,&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ef800a03cbdf2ee1a7a40b3e55042b684b8e71)
Nous aurons.
![{\displaystyle Aire\mathrm {AMG} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AG.MD} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AG} {\sqrt {{\overline {\mathrm {MP} }}^{2}+{\overline {\mathrm {PD} }}^{2}}}={\tfrac {1}{2}}a{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43ba6dc3e9d973d9295aad66f1639f9ef11ff04)
![{\displaystyle Aire\mathrm {BNH} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {BH.NE} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {BH} {\sqrt {{\overline {\mathrm {NQ} }}^{2}+{\overline {\mathrm {QE} }}^{2}}}={\tfrac {1}{2}}b{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc6b5307b1c9e29abcee39abc741052e23041c6)
si donc on a
![{\displaystyle Aire\mathrm {AMG} +Aire\mathrm {BNH} =minimum,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdff4ccf9502bbb6f6af4222f869a7417bc37f9a)
on devra avoir
![{\displaystyle a{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}+b{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}=minimum,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2670d7efcd3b2463db9b5310726999d46560c460)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {ax\delta xSin.^{2}\alpha }{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}}+{\frac {by\delta ySin.^{2}\beta }{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f54d6aa86681cc445303c4e86bb615c2938bec)
mais, d’un autre côté, on a
![{\displaystyle x+y=\mathrm {SP+QT=ST-PQ=ST-MN} =Constante\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88214b9228156c4a4653362ba810e4bed820c5b5)
d’où
![{\displaystyle \delta x+\delta y=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53701e613d3aaf09167d6f2daf6c7e710b3c8408)
(2)
Par la combinaison de ces deux équations, on aura
![{\displaystyle {\frac {axSin.^{2}\alpha }{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}}={\frac {bySin.^{2}\beta }{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a51e4aa8dfb84ff305a74a36c428e391fc8aff3)
(3)
mais,
pouvant être également exprimé par
et par
, on doit avoir
![{\displaystyle bSin.\beta =aSin.\alpha \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d504bf1b17e67656e10206dea156b46485bab19b)
(4)
équation qui, multipliant là précédente, donne
![{\displaystyle {\frac {xSin.\alpha }{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}}={\frac {ySin.\beta }{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ded756b182df91e978914f58aabc0e86d7df1a0)
(5)