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MINIMUM.

Par exemple, Bossut, à la page 474 du second volume de son Calcul intégral, ramène le problème à l’intégration des équations

$\mathrm {d} z=p\mathrm {d} x+q\mathrm {d} y,$

$P\mathrm {d} y+Q\mathrm {d} x=0,$

$a\left\{\left({\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\right)+\left({\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} y}}\right)\right\}=1\,;$

dans lesquelles on a

$P={\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}},\qquad Q={\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\,;$

mais, au lieu d’intégrer ces équations, il se contente de faire voir qu’elles sont satisfaites par l’équation de la sphère, ce qui paraît prouver seulement que la sphère est un cas particulier de la surface plus générale qui résout le problème, et n’exclut pas conséquemment toute autre surface qui pourrait également, comme cas particulier, être déduite de celle-là.

L’élimination de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ donne l’équation du second ordre

$\left(1+q^{2}\right)r-2pqs+\left(1+p^{2}\right)t=C(1+p^{2}+q^{2})^{\frac {1}{2}}$

et c’est sous cette forme que la présente M. Lacroix à la page (717) de la première édition de son Traité de calcul intégral ; mais M. Lacroix observe lui-même que cette équation n’est pas seulement satisfaite par l’équation d’une sphère, mais encore par celle d’un cylindre. Voilà donc une difficulté qui me paraîtrait digne d’occuper les analistes, et dont l’éclaircissement semblerait propre à jeter quelque lumière sur les applications de la méthode des variations ; applications communément trop peu développées dans les traités relatifs à cette branche d’analise.