Soient en effet ce segment et une autre surface construite également sur et ayant même périmètre que Soit construit sur un segment équivalent à et dont le périmètre soit ; nous aurons (Coroll. II) d’où nous conclurons ; puis donc que nous avons nous aurons aussi
PROBLÈME II. Entre tous les corps d’un même volume donné, quel est celui qui est terminé par la moindre surface ?
Solution. Le caractère du corps cherché est qu’en conservant le même volume, il ne puisse changer de figure sans augmenter de surface.
Concevons qu’on nous donne un corps comme étant celui de moindre surface, entre tous ceux d’un volume égal au sien.
Menons, dans l’intérieur de ce corps, une corde quelconque et, par le milieu de cette corde, conduisons un plan qui lui soit perpendiculaire. Par l’intersection de et faisons passer arbitrairement, dans le plan deux droites perpendiculaires entre elles. Menons, dans le même plan, une infinité de parallèles à et une infinité de parallèles à et enfin par les unes et les autres conduisons des plans perpendiculaires à Ces plans diviseront le corps proposé en une infinité d’élémens, lesquels pourront être considérés comme des troncs de parallélipipèdes dont les faces non parallèles formeront, par leur réunion, la surface du corps dont il s’agit.
Supposons que quelques-uns de ces troncs de parallélipipèdes n’aient pas les milieux de leurs arêtes latérales sur le plan ; nous pourrons, dans l’un quelconque de ceux-ci, faire glisser les arêtes latérales, perpendiculairement au plan jusqu’à ce qu’elles soient parvenues à cette situation ; nous pourrons ensuite en faire de même pour les huit troncs de parallélipipèdes élémentaires entre lesquels celui-là se trouve situé, et continuer ainsi, de proche en proche, jusqu’à ce que nous ayons amené toutes les cordes parallèles à à avoir leur milieu sur le plan
