Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/350

336

PROBLÈME DE LA TRACTOIRE.

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=\mu (x-x'),\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=\mu y\,;$

$\mu$ étant une indéterminée. Soient $y=\operatorname {Sin} .\phi$ et $x-x'=\operatorname {Cos} .\phi$ ; en substituant ces valeurs dans les équations du mouvement, on trouve

$-{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Sin} .\phi -{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Cos} .\phi =\mu \operatorname {Cos} .\phi ,$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Cos} .\phi -{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Sin} .\phi =\mu \operatorname {Sin} .\phi \,;$

et, en éliminant $\mu ,$

$\operatorname {d} ^{2}\phi =0,\qquad$ donc$\qquad \phi =At+A',\qquad$et

$x=bt+\operatorname {Cos} .(At+A'),\qquad y=\operatorname {Sin} .(At+A').$

En déterminant les constantes d’après la vitesse initiale $V,$ faisant avecl’axe des $x$ un angle $\beta ,$ on a

$x=bt+\operatorname {Cos} .\left\{\left[V\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-b\operatorname {Sin} .\alpha \right]t+\alpha \right\},$

$y=\operatorname {Sin} .\left\{\left[V\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-b\operatorname {Sin} .\alpha \right]t+\alpha \right\}.$

Ces formules expriment que le point $\mathrm {M}$ se meut autour du point $\mathrm {P}$ d’un mouvement uniforme et continu, avec une vitesse $V\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )-b\operatorname {Sin} .\alpha .$

8. Si l’on suppose, comme ci-dessus, que la vitesse initiale du point $\mathrm {M} ,$ parallèle à l’axe des $y$ est nulle, et que celle parallèle à l’axe des $x$ est $b$ on trouve, en faisant $V=b$ et $\beta =0,\ y=\operatorname {Sin} .\alpha ,\ x=bt+\operatorname {Cos} .\alpha$ ; résultat conforme à celui du n.^o 6. Si l’on suppose encore que la vitesse initiale du point $\mathrm {M} ,$ parallèlement aux $y$ est nulle, et que l’ordonnée du même point est aussi nulle, à l’origine du mouvement ; on trouvera, en faisant $\alpha =0,\beta =0,$ conformément à ces hypothèses, $y=0,x=bt+1,$ comme ci-dessus.

Metz, le 25 avril 1814.