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PROBLÈME

Mais l’équation (9) donne, en intégrant et ayant égard aux circonstances initiales du mouvement,

$Ct-\alpha =\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)$ ;

d’où

$y=a\operatorname {Sin} .a(Ct-\alpha )$ ;

donc

$\nu ^{2}=C^{2}a^{2}+2abC\operatorname {Sin} .a(Ct-\alpha )-b^{2}.\qquad$(15)

Il paraît bien établi, par tout ce qui précède, que, tant qu’on fera abstraction du frottement et de la résistance du milieu, et qu’on supposera le mouvement du point $P$ rectiligne et uniforme, la tractoire plane sera une cycloïde. Supposons présentement, s’il est possible, qu’en ayant égard soit au frottement, soit à la résistance du milieu, soit à tout autre obstacle agissant dans un sens directement opposé à celui du mouvement du point $M,$ la tractoire pût devenir la courbe aux tangentes égales ; la suppression de tous ces obstacles revenant à l’introduction d’une force égale et contraire à leur somme, dirigée dans le sens du mouvement, ne devrait altérer en aucune sorte la nature de la courbe, et n’aurait d’autre effet que d’augmenter ou diminuer plus ou moins la tension ou compression de la verge $a,$ et de faire varier l’intensité et la direction de la puissance variable à appliquer au point, pour lui faire décrire une ligne droite d’un mouvement uniforme, avec la vitesse $b\,;$ la tractoire devrait donc dans ce cas, comme dans le premier, être une courbe aux tangentes égales ; or, nous venons de voir qu’alors elle est une cycloïde ; donc dans le premier cas elle ne saurait être une courbe aux tangentes égales. Ainsi, loin que jamais, par l’effet du frottement et de la résistance du milieu, la tractoire puisse devenir une courbe aux tangentes égales, cette courbe est peut-être la seule au contraire que le point $M$ ne puisse jamais décrire, du moins tant que ce point ne sera soumis à l’action d’aucune force étrangère au système.