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PROBLÈME

vation, et elle est double de celle du point $P,$ chaque fois qu’il parvient à son maximum d’abaissement.^[1]

Le temps se trouve par la formule ${\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}={\frac {c\operatorname {d} t}{a\operatorname {Cos} .\alpha }},$ laquelle donne

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)={\frac {ct}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}+C''\,;$

et, comme on a en même temps $y=a\operatorname {Sin} .\alpha .$ et $t=0,$ il s’ensuit que $C''=\alpha ,$ ce qui donne

$t={\frac {a\operatorname {Cos} .\alpha }{c}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)-\alpha \right\}.\qquad$(13)

Ainsi, lorsque $y=a,$ on a

$t={\frac {a\operatorname {Cos} .\alpha }{c}}\left\{{\frac {2n+1}{2}}\varpi -\alpha \right\},$

$n$ étant un nombre entier positif quelconque ; d’où il suit que le temps employé a parcourir une cycloïde entière est $={\frac {\varpi a\operatorname {Cos} .\alpha }{c}}.$

La force accélératrice $p={\frac {M}{P}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}$ ; mais

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=b-{\frac {cy}{a\operatorname {Cos} .\alpha }},\qquad$d’où$\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {c\operatorname {d} y}{a\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .\alpha }}\,;$

et, comme on a d’ailleurs

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}={\frac {c{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}\,;$

il s’ensuit qu’on doit avoir

$p=-{\frac {M}{P}}.{\frac {c^{2}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }},$

ce qui donne, pour la valeur initiale de $p,\ p=-{\frac {M}{P}}.{\frac {c^{2}}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}.$

1. Voyez la page 98 du deuxième volume de ce recueil.