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DE LA TRACTOIRE.

introduisant donc cette valeur dans l’équation de la courbe, elle deviendra

$x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab\operatorname {Sin} .\alpha }{c'-b}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)-\alpha \right\}\,;\qquad$(12)

de sorte qu’il y a entre les vitesses initiales $c$ et $c'$ la relation

$c'\operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Sin} .\alpha =b\operatorname {Cos} .\alpha .$

L’équation (11) est en défaut, lorsqu’on a $\alpha ={\tfrac {1}{2}}\varpi$ ; mais alors on emploie l’équation (12) qui devient

$x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}-{\frac {ab}{c'-b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {y}{a}}\right).$

De même, si $\alpha =0,$ l’équation (12) est en défaut ; mais alors l’équation (11) devient

$x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab}{c}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right).$

Pour déterminer la vitesse de $M,$ en un point quelconque de la courbe, nous avons les équations

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\frac {ab\operatorname {Cos} .\alpha -cy}{a\operatorname {Cos} .\alpha }},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}={\frac {c{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}\,;$

donc

$\nu ^{2}={\frac {ac^{2}-2bcy\operatorname {Cos} .\alpha +ab^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }{a\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }}.$

Ainsi, suivant qu’on aura $y=a$ ou $y=-a,$ on aura aussi

$\nu =b-{\frac {c}{\operatorname {Cos} .\alpha }},\qquad$ou$\qquad \nu =b+{\frac {c}{\operatorname {Cos} .\alpha }}.$

Il est aisé de voir que ce sont là la plus petite et la plus grande vitesses du point $M$ ; la première a lieu au point le plus haut et la seconde au point le plus bas de chaque cycloïde donc, dans la cycloïde ordinaire, pour laquelle on a $c=b\operatorname {Cos} .\alpha ,$ la vitesse du point $M$ est nulle, chaque fois qu’il parvient à son maximum d’élé-