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PROBLÈME

$M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta x+M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta y+P\left\{{\frac {\mathrm {d} ^{2}x'}{\mathrm {d} t^{2}}}-p\right\}\delta x'=0\,;\qquad$^[1]

ou simplement, à cause de ${\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t}}$ constant,

$M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta x+M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta y-Pp\delta x'=0.\qquad$(1)

En désignant par $a$ la longueur de la verge, la liaison des parties du système sera exprimée par l’équation unique

$(x-x')^{2}+y^{2}=a^{2},\qquad$(2)

laquelle donnera

$(x-x')(\delta x-\delta x')+\gamma \delta y=0,$

d’où

$\delta x'=\delta x+{\frac {y}{x-x'}}\delta y\,;\qquad$(3)

substituant donc cette valeur dans l’équation (1), elle deviendra

$\left\{M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}-Pp\right\}\delta x+\left\{M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {Ppy}{x-x'}}\right\}\delta y=0\,;\qquad$(4)

$\delta x$ et $\delta y$ devant alors être indépendans, on aura séparément

$M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=Pp,\qquad M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {Ppy}{x-x'}},\qquad$(5)

d’où, l’élimination de $p,$ on conclura

$y\mathrm {d} ^{2}x=(x-x')\mathrm {d} ^{2}y.\qquad$(6)

Puisque $\mathrm {d} x'$ est constant, cherchons à obtenir une équation en $x'$ et $y.$ Pour cela, différentions deux fois consécutivement l’équation (2) ; il viendra ainsi

$\mathrm {d} x=\mathrm {d} x'-{\frac {y\mathrm {d} y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}},$

1. Voyez la Mécanique céleste, tome 1.^er, page 51.