de la racine cherchée. D’un autre côté, les premiers termes de cette racine étant trouvés, si, après avoir retranché la puissance de l’ensemble de ces termes du polynôme proposé, on divise le premier terme du reste par fois la puissance du premier terme de cette racine, on obtiendra pour résultat (§. II. Lemme II) le terme de cette même racine. Ainsi on a, à la fois, par ce qui précède, 1.o le moyen d’obtenir le premier terme de la racine ; 2.o le moyen d’obtenir un terme quelconque de cette racine ; lorsque tous ceux qui doivent le précéder sont déjà obtenus : ce qui renferme implicitement la solution complète du problème, et conduit immédiatement aux méthodes connues.
Remarque I. D’après les deux remarques précédentes, on voit qu’on a aussi 1.o le moyen d’obtenir le dernier terme de la racine ; 2.o le moyen d’obtenir un terme quelconque de cette racine, lorsque tous ceux qui doivent le suivre sont déjà obtenus ; ce qui peut fournir une seconde solution du problème.
Remarque II. Lorsque la racine ne doit pas avoir plus de quatre termes, on peut l’obtenir assez simplement par le procédé que voici, et qui n’exige que des opérations sur des monômes : en extrayant les racines des deux termes extrêmes du polynôme proposé, on obtient les deux termes extrêmes de la racine ; divisant ensuite le second et l’avant-dernier terme de ce polynôme, respectivement, par fois la puissance du premier et du dernier terme de la racine, on obtiendra pour quotiens le second et l’avant-dernier terme de cette racine ; il ne sera donc plus question alors que de vérifier si la racine obtenue est exacte.
Observation générale. On voit, par tout ce qui précède, que, dans la division et l’extraction des racines des polynômes, ce n’est que pour plus de commodité qu’on ordonne ces polynômes ; mais on voit en même temps qu’il est essentiel d’opérer, dans tous les cas, de la même manière qu’on le ferait, si les polynômes étaient ordonnés.
