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ET EXTRACTION DES RACINES.

$A^{m-n}x^{pm-pn}\,;$

le terme le plus élevé du développement de

$\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{n}$

est

$H^{n}x^{pn-rn}\,;$

donc (§. I. Lemme I) le terme le plus élevé du développement du terme général sera

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.A^{m-1}x^{pm-pn}\times H^{n}x^{pm-rn}.$

ou

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.A^{m-n}H^{n}x^{pm-rn}.$

On aura donc le premier terme de la fonction $(\Delta ),$ en donnant ici à $n$ une valeur qui rende l’exposant de $x$ le plus grand possible, c’est-à-dire, en donnant à $n$ la plus petite valeur qu’elle puisse avoir, c’est-à-dire, en posant $n=1,$ ce qui donne

$m.A^{m-1}Hx^{pm-r}=m.\left(Ax^{p}\right)^{m-1}\times Hx^{p-r},$

comme nous l’avions annoncé.

Remarque. On prouverait de la même manière que, si de la $m.^{me}$ puissance d’un polynôme on retranche la $m.^{me}$ puissance de l’ensemble de ses $r$ derniers termes, le dernier terme du reste sera, sans réductions ou modifications quelconques, $m$ fois la $(m-1)^{me}$ puissance du dernier terme du polynôme, multipliée par le terme qui, dans ce polynôme, occupe le $(r+1)^{me}$ rang, à partir du dernier.

PROBLÈME. Déterminer la racine $m.^{me}$ d’un polynôme ?

Solution. En extrayant la racine $m.^{me}$ du premier terme du polynôme proposé, on obtiendra (§. II. Lemme I) le premier terme