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DIVISION

$Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}+Hx^{p-r}+\ldots +V$

le polynôme dont il s’agit ; il faut prouver que le premier terme du développement de

$\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}+Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{m}-\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m}$

est

$m\left(Ax^{p}\right)^{m-1}\times Hx^{p-r}.$

Or, en traitant la première partie comme un binôme, développant par la formule de Ne\thetaon, et réduisant, il vient

$m\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m-1}\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)$

$+m.{\frac {m-1}{2}}\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m-2}\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{2}$

$+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}\left(Ax^{p}+\ldots \right.$

$+\left.Gx^{p-r+1}\right)^{m-n}\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{n}+\ldots \qquad (\Delta )$

sur quoi on doit remarquer qu’à cause du premier terme qui manque la plus petite valeur de $n$ doit être l’unité.

Considérons présentement à part le terme général

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m-n}\left(Hx^{p-r}+\ldots +V\right)^{n}$

et cherchons quel est le terme le plus élevé de son développement. D’abord (§. II. Lemme I) le terme le plus élevé du développement de

$\left(Ax^{p}+\ldots +Gx^{p-r+1}\right)^{m-n}$

est