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ET EXTRACTION DES RACINES.

$-\left(Ax^{p}+\ldots +V\right)\left(A'x^{q}+\ldots +G'x^{q-r+1}\right)$

est

$Ax^{p}\times H'x^{q-r}.$

Or, cela est évident, puisque cette différence est la même chose que

$\left(Ax^{p}+\ldots +V\right)\left(H'x^{q-r}+\ldots +V'\right)\,;$

dont le premier terme est, en effet, (Lemme I),

$Ax^{p}\times H'x^{q-r}.$

Remarque. On prouverait, de la même manière, que, si du produit de deux polynômes on retranche le produit du premier par les derniers termes du second, le dernier terme du reste sera, sans réductions ou modifications quelconques, le produit du dernier terme du premier polynôme par le terme qui, dans le second, occupe le $(r+1)^{me}$ rang, à partir du dernier.

PROBLÈME. Déterminer le quotient de la division de deux polynômes ?

Solution. En divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, on obtient (Lemme I) le premier terme du quotient. D’un autre côté, les premiers termes du quotient étant trouvés, si, après avoir multiplié le diviseur par l’ensemble de ces termes, et retranché le produit du dividende, on divise le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, on obtiendra pour résultat (Lemme II) le $(r+1)^{me}$ terme du quotient. Ainsi on a, à la fois, par ce qui précède, 1.^o le moyen d’obtenir le premier terme du quotient ; 2.^o le moyen d’obtenir un terme quelconque de ce quotient, lorsque tous ceux qui doivent le précéder sont déjà obtenus ; ce qui renferme implicitement la solution complète du problème, et conduit immédiatement aux méthodes connues.