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RÉSOLUES.
et conséquemment parallèle à
et soient
![{\displaystyle \mathrm {CA} =a,\mathrm {CB} =b,\mathrm {AB} =c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9005375b3d54abea750a4525682806379b60b5e3)
Les triangles semblables
donnent
![{\displaystyle b:a::y:\mathrm {PA'} ={\frac {ay}{b}},\qquad b:c::y:\mathrm {MA'} =c.{\frac {y}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30bf1fb28a2677b108af29270877d99a325567f7)
donc
![{\displaystyle \mathrm {CA'=CP+PA'} =x+{\frac {ay}{b}}={\frac {bx+ay}{b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471201391d60477fb46a38ee6696d5115de13f48)
D’un autre côté, les triangles semblables
donnent
![{\displaystyle a:c::{\frac {ay+bx}{b}}:\mathrm {A'B'} ={\frac {c(ay+bx)}{ab}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802117492e052774cabdac31518eb2eec1b0fb22)
d’où il suit que
![{\displaystyle \mathrm {MB'=A'B'-MA'} ={\frac {c(ay+bx)}{ab}}-{\frac {cy}{b}}=c.{\frac {x}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0b9174d0746d01c4154724ac9ea58192f83a84)
donc
mais, dans l’ellipse et dans l’hyperbole, on a respectivement
![{\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a53a18b228b94aca487d9209f6ac9ef601007a)
donc, dans les deux courbes, on doit avoir respectivement
[1]
- ↑ Si l’on désigne par
l’autre point d’intersection de
avec la courbe, on aura pareillement
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {NB'}}^{2}\pm {\overline {NA'}}^{2}={\overline {AB}}^{2}} ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb52a661d47d9b65c40b199edf106d4f6df4fe91)
d’où
![{\displaystyle \qquad \mathrm {{\overline {MA'}}^{2}\pm {\overline {MB'}}^{2}={\overline {NB}}^{2}\pm {\overline {NA'}}^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2f462446802a2b566ec833f9a5dd1d81667fa5)
d’où, en développant, on conclura,
![{\displaystyle \mathrm {MA'=NB'.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e4a5b60d5116d60ea7ca36f035ffa2a243a704)
Cette dernière proposition, et conséquemment la première qui peut en être aisément déduite, se démontre facilement pour l’ellipse, en recourant à sa projection circulaire, dans laquelle les projections des deux diamètres conjugués sont deux diamètres perpendiculaires l’un à l’autre. Ceci peut donc former un petit supplément au mémoire de M. Ferniot, inséré à la page 240 du 2.e volume de ce recueil.
J. D. G.