des six coefficiens qui répondent aux maximum, du moins lorsque
le centre est donné.
On substituera ensuite ces valeurs dans l’expression du produit des trois demi-diamètres principaux, et exprimant de nouveau que ce produit est un maximum, mais en faisant, pour cette fois, varier . Égalant ensuite séparément à zéro les multiplicateurs de il en résultera trois équations qui donneront les coordonnées du centre.
On parviendra ainsi à cette conclusion remarquable : Le plus grand ellipsoïde inscriptible à un tétraèdre donné a son centre au centre de gravité du volume de ce tétraèdre et touche ses faces aux centres de gravité de leurs aires respectives ; d’où il suit que le tétraèdre qui a ses sommets aux points de contact, a ses faces respectivement parallèles à celles du tétraèdre donné.
PROBLÈME IV. Déterminer l’ellipsoïde du plus petit volume circonscriptible à un tétraèdre donné ?
Ce problème se traite exactement comme le précédent, avec cette seule différence que les quatre équations qui expriment que l’ellipsoïde touche les faces du tétraèdre, y sont remplacées par celles qui expriment qu’il passe par ses sommets.
On parvient ainsi à ce résultat non moins remarquable que celui qui vient d’être énoncé : le plus petit ellipsoïde circonscriptible à un tétraèdre donné, a son centre au centre de gravité du volume du tétraèdre, et ses plans tangens par les quatre sommets sont respectivement parallèles à ceux des faces opposées ; d’où il suit que le tétraèdre donné a ses sommets aux centres de gravité des aires des faces de celui que forment les quatre plans tangens.
On voit donc que, si deux tétraèdres sont inscrits et circonscrits l’un à l’autre, de manière que leurs faces soient parallèles chacune à chacune, un même ellipsoïde sera, en même temps, le plus grand ellipsoïde inscrit au plus grand et le plus petit ellipsoïde circonscrit au plus petit.
