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RÉSOLUES.

d’après ces valeurs de $x',y'$ les équations (P), (Q), (R) des tangentes menées à l’ellipse par les sommets du triangle deviendront simplement

$ay-bx=0,\qquad x-a=0,\qquad y-b=0.$

Ainsi, la plus petite ellipse circonscriptible à un triangle donné a son centre au centre de granité de l’aire de ce triangle, et ses tangentes par les trois sommets sont respectivement parallèles aux côtés opposés ; d’où il suit que le triangle donné a ses sommets aux milieux des côtés de celui que forment les trois tangentes. L’aire de cette ellipse est à celle du triangle $::4\varpi :3{\sqrt {3}}.$ Son équation est

$3b^{2}\left(x-{\tfrac {1}{2}}a\right)^{2}+3a^{2}\left(y-{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+3ab\left(x-{\tfrac {1}{2}}a\right)\left(y-{\tfrac {1}{2}}b\right)=a^{2}b^{2}.$

On voit donc que, si deux triangles sont inscrits et circonscrits l’un à l’autre, de manière que leurs côtés soient parallèles chacun à chacun, une même ellipse sera, en même temps, la plus grande ellipse inscrite au plus grand et la plus petite ellipse circonscrite au plus petit.

PROBLÈME III. Déterminer l’ellipsoïde de plus grand volume inscriptible à un tétraèdre donné ?

En désignant par $a,b,c$ les trois arêtes d’un même angle du tétraèdre dont il s’agit, prenant ces arêtes pour axes des coordonnées et dénotant par $x',y',z'$ les coordonnées du centre de l’ellipsoïde cherché, l’équation de cet ellipsoïde sera de la forme

$\left.{\begin{aligned}&A(x-x')^{2}+2A'(y-y')(z-z')\\+&B(y-y')^{2}+2B'(z-z')(x-x')\\+&C(z-z')^{2}+2C'(x-x')(y-y')\\\end{aligned}}\right\}+1=0,$