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QUESTIONS

sommets sont aux points de contact à ses côtés respectivement parallèles à ceux du triangle donné. L’aire de cette ellipse est à celle du triangle donné $::\varpi :3{\sqrt {3}}.$ Son équation est

$12b^{2}\left(x-{\tfrac {1}{3}}a\right)^{2}+12a^{2}\left(y-{\tfrac {1}{3}}b\right)^{2}+12ab\left(x-{\tfrac {1}{3}}a\right)\left(y-{\tfrac {1}{3}}b\right)=a^{2}b^{2}.$

PROBLÈME II. Déterminer l’ellipse de moindre surface circonscriptible à un triangle donné ?

Solution. En conservant les mêmes conventions et notations que dans le problème précédent, l’équation de l’ellipse sera encore

$A(x-x')^{2}+B(y-y')^{2}+2C(x-x')(y-y')+1=0\,;$

Cette ellipse devant passer par l’origine, on aura d’abord

$Ax'^{2}+By'^{2}+2Cx'y'+1=0\,;\qquad (c)$

et l’équation de sa tangente en ce point sera

$(Ax'+Cy')x+(By'+Cx')y=0.\qquad (p)$

Cette ellipse devant ensuite passer par le point dont les coordonnées sont $a$ et 0, on aura

$A(x'-a)^{2}+By'^{2}+2Cy'(x'-a)+1=0,$

équation qui, en en retranchant l’équation (c), se réduit à

$2y'C+(2x'-a)A=0\,;\qquad (l)$

et l’équation de la tangente en ce point est

$\left\{By'+C(x'-a)\right\}y+\left\{Cy'+A(x'-a)\right\}(x-a)=0.\qquad (q)$

Cette ellipse devant enfin passer par le point dont les coordonnées sont $0$ et $b,$ on aura encore

$B(y'-b)^{2}+Ax'^{2}+2Cx'(y'-b)+1=0,$

équation qui, en en retranchant l’équation $(c),$ se réduit à

$2x'C+(2y'-b)B=0\,;\qquad$(2)

et l’équation de la tangente en ce point est

$\left\{Ax'+C(y'-b)\right\}x+\left\{Cx'+B(y'-b)\right\}(y-b)=0.\qquad (r)$

Si ensuite on retranche le double de l’équation $(c)$ de la somme