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QUESTIONS
sommets sont aux points de contact à ses côtés respectivement parallèles à ceux du triangle donné. L’aire de cette ellipse est à celle
du triangle donné
Son équation est
![{\displaystyle 12b^{2}\left(x-{\tfrac {1}{3}}a\right)^{2}+12a^{2}\left(y-{\tfrac {1}{3}}b\right)^{2}+12ab\left(x-{\tfrac {1}{3}}a\right)\left(y-{\tfrac {1}{3}}b\right)=a^{2}b^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec048f48966bfd96dcf5c06ab4a36be5e882f20)
PROBLÈME II. Déterminer l’ellipse de moindre surface circonscriptible à un triangle donné ?
Solution. En conservant les mêmes conventions et notations que
dans le problème précédent, l’équation de l’ellipse sera encore
![{\displaystyle A(x-x')^{2}+B(y-y')^{2}+2C(x-x')(y-y')+1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ba4edb0a64fd5d22cfbe95fd6a731e05130091)
Cette ellipse devant passer par l’origine, on aura d’abord
![{\displaystyle Ax'^{2}+By'^{2}+2Cx'y'+1=0\,;\qquad (c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab5b39bc9c4bd063f4066f9759b2c4af5883054)
et l’équation de sa tangente en ce point sera
![{\displaystyle (Ax'+Cy')x+(By'+Cx')y=0.\qquad (p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d578a85fbbf0e6b585342599ab3519555ba9c629)
Cette ellipse devant ensuite passer par le point dont les coordonnées
sont
et 0, on aura
![{\displaystyle A(x'-a)^{2}+By'^{2}+2Cy'(x'-a)+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c10aedf7b439b802a99a6798693451ce44d8a4)
équation qui, en en retranchant l’équation (c), se réduit à
![{\displaystyle 2y'C+(2x'-a)A=0\,;\qquad (l)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201ee6547fc9f2bdc8e9690dff477035eec4391c)
et l’équation de la tangente en ce point est
![{\displaystyle \left\{By'+C(x'-a)\right\}y+\left\{Cy'+A(x'-a)\right\}(x-a)=0.\qquad (q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102354fec19fa9e027f821deb4047a09372c9e2e)
Cette ellipse devant enfin passer par le point dont les coordonnées
sont
et
on aura encore
![{\displaystyle B(y'-b)^{2}+Ax'^{2}+2Cx'(y'-b)+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6370b3ae6bd9a113d0159d3a8cd48e3ee078fc)
équation qui, en en retranchant l’équation
se réduit à
![{\displaystyle 2x'C+(2y'-b)B=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f07057c6f900be80a6d3ab0e207240882f1b69)
(2)
et l’équation de la tangente en ce point est
![{\displaystyle \left\{Ax'+C(y'-b)\right\}x+\left\{Cx'+B(y'-b)\right\}(y-b)=0.\qquad (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e4571edec2d8d69b95cff1b428898c34d63ea9)
Si ensuite on retranche le double de l’équation
de la somme