26
SOMMES DES PUISSANCES
et celui des mêmes facteurs, excepté le premier
par
![{\displaystyle B_{1}x^{m-1}+B_{2}x^{m-2}+B_{3}x^{m-3}+\ldots +B_{m-1}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105c783af3ac1d927fe4345da4f9ca2eac460e2c)
(2)
Il est évident qu’en divisant le polynôme (1) par
on produira
le polynôme (2), et que, réciproquement, en multipliant le polynôme (2) par
on aura le polynôme (1). De là résultent les équations
![{\displaystyle B_{n-1}=A_{n-1}-\alpha A_{n-2}+\alpha ^{2}A_{n-3}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c491dde046b3971e4746840ed5e9a382892094)
(3)
![{\displaystyle An=B_{n}+\alpha B_{n-1}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d54cffe5eb95f4a68d6db8d04ecdf3f2e952fe)
(4)
L’équation (4) démontre que tout ce qui multiplie
dans
est
; or, d’après la composition des coefficiens
en
si dans
on prend tous les termes multipliés
par
puis successivement ceux multipliés par
et
qu’on les ajoute ; on aura
; donc
![{\displaystyle nA_{n}=\mathrm {S} (\alpha B_{n-1}),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bc16d966743467d6e1b35f838e7d51aa0b1f4b)
(5)
le signe
indiquant la somme des produits
que l’on obtient
en permutant successivement
avec chacune des autres lettres.
Cela posé, dans l’équation (5) substituons à
sa valeur (3), il viendra
![{\displaystyle nA_{n}=\mathrm {S} \left(\alpha A_{n-1}-\alpha ^{2}A_{n-2}+\ldots \pm \alpha ^{n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68db5b269265ec261ed71f2df219ea60145796d)
ou
![{\displaystyle nA_{n}+A_{n-1}\mathrm {S} (-\alpha )+A_{n-2}\mathrm {S} (-\alpha )^{2}+\ldots +\mathrm {S} (-\alpha )^{n}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8d5cfc82fc3c546a4ae1192ad72ba2e5eb34cd)
(6)
et, comme
sont les racines de l’équation (1), il s’ensuit que la formule (6) détermine les sommes des puissances
semblables de ces racines, savoir :
jusqu’à
On peut même pousser plus loin le calcul de ces
sommes, en multipliant l’équation (1) par
et en appliquant ensuite
la formule (6) à l’équation résultante.[1]
- ↑ On trouve un article sur le même sujet à la page 238 du III.e volume
de ce recueil.
J. D. G.