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RÉSOLUES.
![{\displaystyle A+y'^{2}\left(AB-C^{2}\right)=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908ed78bee1834c331acc0f983c52e65bf817ec8)
(1)
Si, dans la même équation, on fait
; en exprimant que
les valeurs qui en résultent pour
sont égales, on trouvera, pour
l’ordonnée du point de contact avec le côté
![{\displaystyle y=y'+{\frac {C}{B}}x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7260a3470627e975fb26ae68387c64ab579412d9)
avec la condition
![{\displaystyle B+x'^{2}\left(AB-C^{2}\right)=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf441b3f1c487ab81e9cbebd90e25e64d69fdcae)
(2)
Combinant enfin la même équation avec l’équation
du troisième côté, mise, pour plus de commodité, sous cette forme
et exprimant que les deux
systèmes de valeurs qui en résultent pour
et
se
réduisent à
un seul ; on trouvera, pour les coordonnées du point de contact
avec ce troisième côté,
![{\displaystyle x=x'+{\frac {(aC-bB)(bx'+ay'-ab)}{a^{2}A+b^{2}B-2abC}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041fb51cba98c98fa92ae4bd161fb55786a98f89)
![{\displaystyle y=y'+{\frac {(bC-aA)(bx'+ay'-ab)}{a^{2}A+b^{2}B-2abC}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb36af9df7bc5e8231fde1004ba11aa99b2bc54)
avec la condition
![{\displaystyle a^{2}A+b^{2}B-2abC+(bx'+ay'-ab)^{2}\left(AB-C^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77fefae3d259b98bcbc79270be27f66aea35bbae)
laquelle, si on en retranche les produits respectifs des équations
(1), (2) par
se réduit simplement à
![{\displaystyle 2C+(2bx'+2ay'-2x'y'-ab)\left(AB-C^{2}\right)=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b88cb1d9d3356955606049b1a92ff974791b8cf)
(3)
Si donc
et
étaient connus, c’est-à-dire, si le centre de
l’ellipse était donné, les seules inconnues
du problème
seraient données par les équations (1), (2), (3), desquelles on tire,
en négligeant les valeurs zéro, qui ne peuvent être admises,
![{\displaystyle A={\frac {4y'^{2}}{(2bx'+2ay'-2x'y'-ab)^{2}-4x'^{2}y'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41264ffb6b391e21f3c0e9139f6b98acd9684451)