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SOMMES DE PUISSANCES ET BINÔME DE NEWTON.

On pourra toujours, en chassant les dénominateurs et les radicaux, ramener cette équation à la forme

$ax^{m}+bx^{m-1}+\ldots +gx+h=0\,;$

or, il est démontré, par les éîémens, que toutes les racines d’une telle équation sont de la forme $p\pm q{\sqrt {-1}},$ sans en excepter même les racines réelles, puisqu’elles répondent à $q=0$ ; puis donc que la fonction $\phi$ est du nombre de ces racines, elle doit être aussi de cette forme.

Supposons, en second lieu, que la fonction $\phi$ soit transcendante, mais développable en une suite de termes qui soient algébriques ou du moins développables eux-mêmes en séries, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on n’ait plus qu’une suite de termes algébriques ; ces termes, d’après ce qui précède, seront tous de la forme $p\pm q{\sqrt {-1}},$ ; donc leur somme, c’est-à-dire, la fonction $\phi$ sera aussi de la même forme.

Toute la difficulté est donc maintenant réduite à savoir si vraiment toute fonction non algébrique est développable en série. Je regarde la chose comme extrêmement probable ; mais je ne crois pas qu’elle ait encore été jusqu’ici généralement et rigoureusement démontrée.

ANALISE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstrations du principe qui sert de fondement au
calcul des fonctions symétriques, et de la formule
du Binôme de Newton ;

Par M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
l’académie de Grenoble.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I. Soit représenté le produit des $m$ facteurs simples $x+\alpha ,x+\beta ,x+\gamma ,\ldots ,$ par

$x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}+A_{3}x^{m-3}+\ldots +A_{m}\,;\qquad$(1)