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TRANSFORMATION

$M=q_{1}b^{m-1}+q_{2}b^{m-2}+q_{3}b^{m-3}+\ldots +q_{m}.\qquad (\gamma )$

En opérant de la même manière sur $N,$ faisant $n-1$ divisions seulement, désignant par $q_{m+n},q_{m+n-1},q_{m+n-2},\ldots q_{m+2}$ les restes successifs et par $q_{m}+1$ le dernier quotient, on aura pareillement

$N=q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}\,;\qquad (\xi )$

Substituant enfin ces valeurs de $M$ et $N$ dans l’équation $(\mu ),$ elle prendra d’abord la forme $(\xi )$ et ensuite la forme $(\varepsilon )$ ; c’est-à-dire, que le développement de la fraction ${\frac {A}{B}}$ suivant la base $b$ se trouvera être exactement conditionné comme nous l’avons annoncé.

9. Il convient au surplus d’observer que la recherche des nombres $C,D,m,n$ n’exige nullement la décomposition de $B$ en facteurs premiers. En cherchant successivement le plus grand commun diviseur entre $B$ et $b,b^{2},b^{3},\ldots$ jusqu’à ce qu’on rencontre deux puissances consécutives pour lesquelles ce diviseur soit le même ; l’exposant de la moins élevée sera $m,$ et le diviseur sera $C.$ En divisant $B$ par $C,$ le quotient sera $D$ ; enfin, en divisant successivement par $D$ les binômes $b-1,b^{2}-1,b^{3}-1,\ldots$, jusqu’à ce qu’on en rencontre un pour lequel la division réussisse, l’exposant de $b$ dans ce binôme sera la valeur de $n.$

10. Pour donner un exemple de ce procédé, proposons-nous de développer la fraction ${\tfrac {7}{72}}$ suivant la base 3. Nous aurons ici $m=2,$ $C=9,\ n=2,\ D=8\,;$ d’où $C'=1,\ D'=1,\ AC'D'=7\,;$ donc $q_{1}=0,$ $q_{2}=0,\ q_{3}=2,\ q_{4}=1,\ q_{5}=2,\ q_{6}=1,\ldots ,$ et partant

${\tfrac {7}{72}}={\tfrac {0}{3}}+{\tfrac {0}{9}}+{\tfrac {2}{27}}+{\tfrac {1}{81}}+{\tfrac {2}{243}}+{\tfrac {1}{729}}+\ldots$

11. L’application de tout ce qui précède au développement des fractions en parties décimales est trop facile pour que nous croyons nécessaire de nous y arrêter.