Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/281

267

DES FRACTIONS.

on prend successivement la première, puis la somme des deux premières, puis la somme des trois premières, et ainsi de suite, en supprimant les termes communs aux deux membres des équations résultantes ; il viendra

$\left.{\begin{array}{rl}{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {r_{1}}{bB}},\\{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {r_{2}}{b^{2}B}},\\{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+{\frac {r_{3}}{b^{3}B}},\\{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+{\frac {q_{4}}{b^{4}}}+{\frac {r_{4}}{b^{4}B}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\gamma )$

En observant que les derniers termes

${\frac {r_{1}}{bB}},{\frac {r_{2}}{b^{2}B}},{\frac {r_{3}}{b^{3}B}},{\frac {r_{4}}{b^{4}B}},\ldots$

de ces suites sont continuellement décroissans, on en conclura qu’on peut écrire, par approximation,

${\frac {A}{B}}={\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+{\frac {q_{4}}{b^{4}}}+\ldots \,;\qquad (\delta )$

développement qui donnera une valeur d’autant plus approchée de la fraction ${\frac {A}{B}}$ qu’on en prendra un plus grand nombre de termes, et qu’en même temps $b$ sera plus grand. À l’avenir nous appellerons ce nombre arbitraire $b$ la base du développement de ${\frac {A}{B}}.$

3. Il s’agit présentement, 1^o. d’assigner les caractères auxquels on pourra reconnaître à l’avance si le développement se terminera ou si, au contraire, il se prolongera indéfiniment ; 2^o. de reconnaître quand ce développement devra être immédiatement périodique ou avoir ses périodes précédées de termes n’en faisant pas partie ;